[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Wzór ten się znacząco upraszcza, gdy siła zale\y tylko od odległości międzyoddziałującymi punktami, a nie zale\y od kątów, a tak jest np.w przypadku siłyCoulomba.Nale\y zwrócić uwagę, \e prawo Coulomba jest napisane w układzierrsferycznym! Siła F(r ) zale\y tylko od r.Stosują postać operatora Hamiltona zrównania 3.7 do równania 3.5 otrzymamy zale\ność:rdU (r)�F = - r, (3.8);dr9 Równanie to jest uproszczoną wersją równania 3.5, prawdziwą jedynie dla pólsferycznie symetrycznych, takich jak pole ładunku punktowego.Pozwala onopoliczyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o energiipotencjalnej U(r).Je\eli znamy siłę, a chcemy obliczyć energię potencjalnąposłu\ymy się zale\nością wynikającą z równania 3.4:rr2rU (r1) -U (r2 ) = F dr(3.9),+"r1Równania 3.4 3.8 są słuszne dla ka\dego pola zachowawczego, np.polaelektrycznego, pola grawitacyjnego.rPotencjał �(r ) jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek.Związek między potencjałem potencjałów energią potencjalną jest oczywisty:U (r)�(r) =(3.10),qRó\nica potencjałów w dwóch punktach jest zatem równa:U (r1) -U (r2 ) W (r1 �! r2 )"� = �(r1) -�(r2 ) = =(3.11),q qi jest nazywana napięciem.W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt].Podstawiając do równania 3.11 definicję energii potencjalnej (równ.3.4)otrzymamy potencjał będzie określony przez zale\ność:r r " rr r r�(r ) = E dr = - E dr, (3.12).+" +"r "Równanie 3.12 jest równaniem całkowym.Związek między potencjałem awektorem natę\enia pola elektrycznego mo\na równie\ przedstawić w postacirównania ró\niczkowego, analogicznego do równ.3.5:rE = -grad�(r) = -"�(r), (3.4).Przykład: dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie:r "r r 1 q�(r ) = E dr =(3.5).+"r4� �0 r10 Wielkościami charakteryzującymi pole oraz związki między nim i zebrano wtabeli 1.Związki te są analogiczne dla związków pola grawitacyjnego.Przykład: dla ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne to zbiórwspółśrodkowych sfer w środku, których znajduje się ładunek punktowy.Przedstawiono to na rys.3.2.Rys.3.2 Pole ładunku punktowego, powierzchnia ekwipotencjalna oraz polewektorowe.Powierzchnie ekwipotencjalne powierzchnie stałego potencjału, spełniającer�(r ) = constrównanie Praca przy przesunięciu ładunku na pow.ekwipotencjalnej = 0!Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między ró\nymi powierzchniamiekwipotencjalnymi jest ró\na od zera!Zadanie: Jakie powierzchnie ekwipotencjalne ma nieskończona, jednorodnienaładowana nić?Związki między polem a własnościami ładunków, między wielkościamiwektorowymi oraz wielkościami skalarnymi ukazuje poni\sza tabelka.11 Tabela 1.Związki między wielkościami charakteryzującymi pole elektryczne.własności powiązania własności polaładunkówr rwielkości siła: pole elektryczneF = qEr rwektorowe 1 q1 q2 1 q1� �F = r E = r24� �0 r2 4� �0 rr rzwiązki międzyF = -"U (r)E = -"�(r)nimiwielkości skalarne energia potencjał;potencjalna: r 1 qU (r) = q�(r)�(r ) =1 q1 q24� �0 rU (r) =4� �0 r12
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
